简化真值表法

尽管通过完整的真值表总是能准确地判断真值函数论证是否有效，但它也是相当冗长繁琐的工作。幸运的是，有一种更简单易行的方法可以帮助我们找到答案。这种判定真值函数论证有效或无效的简单易行的方法就是简化真值表法。该方法背后的理念是：如果一个论证是无效的，那么在论证的真值表中至少有一行是前提为真而结论为假。简化真值表法就直接去寻找真值表中的这一行。请看下面的论证形式：

先看论证的结论：结论是假言判断，只有一种方法使其为假，即：使其前件为真而后件为假。为满足这一点，就要令P和R都为假。

在结论为假的条件下能让两个前提都真吗？只要Q为真，就可以满足这一点。也就是：

判断变元的这种真值组合使得两个前提都真而结论为假，因而证明了这个论证是无效的。我们不必繁琐地创建整个真值表而只给出能证明论证无效的相关一行。如果论证是有效的，我们就无法找到这样一行。

下面说明对于有效的论证如何运用这种方法：

使得该论证结论为假的唯一方法是让S为真而R为假，所以要做如下赋值：

既然S为真，为使第二个前提为真就要Q为真。由此继续赋值：

但基于上述真值，根本不可能使得第一个判断为真，既然P∨Q为真（既然Q为真）而R为假。因为除上述赋值方法外，没有其他方法使得结论为假而第二个前提为真，又因为这种赋值方法无法使得第一个前提为真，所以我们就能得出结论：该论证有效。

有时候，可能有不止一种方法让论证的结论为假。例如：

因为该论证的结论是合取判断，如果有一个或两个合取支为假，它就为假，这就意味着如果从结论入手，我们可以让S为真而T为假，S为假而T为真，或者S和T都是假的。但我们要尽可能避免麻烦，所以我们要看是否可以从其他地方入手。（记住：该方法的理念是试着给字母赋值，使得前提为真而结论为假。如果我们能做到，论证就是无效的。）

在这个例子中，要使得第一个前提为真，我们必须给字母P赋真值。因为前提是一个合取判断，而要使它整体为真，它的两个部分必须都为真。那就是我们寻找的东西：在那里我们被要求给一个或更多的字母赋真或假的值。我们赋值之后，看看它们给我们什么线索。在这个例子中，一旦我们给P赋真值，就可以发现为了使第三个前提为真，必须使得T为真（因为前件真且后件假使该前提为假，而我们要努力使每个前提为真）。在使T为真之后，我们发现要使得结论为假，S必须为假，所以我们就这样给S赋值。这个任务几乎做完之后，我们只要给Q和R赋值就行了。

还有其他字母让我们可以确定地赋值吗？是的：我们必须使得R为假从而使得第二个前提为真。在做完这步赋值之后，就会发现Q必须为真才能保证第一个前提为真。所有判断变元的赋值情形为：

这就是该论证的真值表里的一行——也是唯一的一行，该行的字母真值使得论证的所有前提为真而结论为假；因此，这一行就证明了该论证是无效的。

洞察　常见的真值函数论证模式

有些真值函数模式在我们的思维中如此常见，以至于我们没有意识到这种运算的存在。下面成对罗列的分别是三种常用的有效的论证模式及其对应物，貌似有效推理而其实不然。识别并区分它们有助于我们进行正确的推理。

上例中，第一个前提可以让我们确定地给一个字母赋值。有时候结论或任何一个前提都不能让我们确定地给任何字母赋值。遇到这种情形时，我们必须借助试错法：通过一种赋值让结论为假（或一些前提为真），看看能否使得前提为真而结论为假。如果不能，就进行另一种赋值。如果所有赋值情形都不能使得前提为真而结论为假，那么这个论证就是有效的。

通常，真值表里有不止一行使得前提为真而结论为假，其中任何一行都可以证明论证无效。不要形成错误的观念：即仅仅因为有一行前提都真而且结论也真，就认为结论能从前提中推出，即论证有效。要证明论证有效，必须是所有前提为真的行中，结论都为真。

复习：试图给判断形式中的字母赋真假值，使得所有的前提为真而结论为假。可能有不止一种赋值可以做到这一点；其中任何一种赋值都可以证明该论证是无效的。如果不可能使得前提为真而结论为假，那么该论证就是有效的。